Lescalculs de sommes faisant intervenir des changements d’indices sont très utiles en maths (études supérieures), car ils permettent de transformer une lourde expression en un résultat plus concis et donc plus facile à interpréter mathématiquement.. Pour faire ce genre de calculs, il faut bien comprendre les raisonnements qui s’enchaînent ; cependant, cette Calculerla somme des termes d'une suite arithmétique. 👍 Site officiel : http://www.maths-et-tiques.frTwitter : : https Notezqu’Excel calcule les heures en tant que fraction d’une journée, c’est pourquoi vous devez multiplier par 24 pour obtenir le nombre total d’heures. Dans le premier exemple, nous utilisons cash. Pour exprimer le ratio entre une valeur totale qui représente un ensemble et une partie de cet ensemble valeur partielle, la formule de base pour le calcul d’un pourcentage est la suivante Pourcentage % = 100 x Valeur partielle / Valeur totale Si la valeur partielle est supérieure à la valeur totale sur-ensemble, alors le pourcentage sera supérieur à 100%. A partir de cette formule de base les différentes utilisations du calcul de pourcentage sont les suivantes Calculer un pourcentage correspondant au ratio entre deux nombres. Calculer le pourcentage représenté par une valeur calcul de la valeur partielle Retrouver la valeur totale à partir d’une valeur partielle et d’un pourcentage Appliquer un pourcentage cas d’une diminution, remise ou réduction Appliquer un pourcentage cas d’une augmentation Calculer un taux de variation en % Ces différents cas d’utilisations sont expliqués en détail et complétés par des convertisseurs automatiques dans les paragraphes ci-dessous. Vous trouverez également dans chaque paragraphe et en fin d’article des exemples et exercices concrets sur les calculs de pourcentage. Calcul de pourcentage Le calcul de pourcentage permet d’exprimer le ratio en % entre deux nombres La valeur totale qui représente un ensemble. La valeur partielle qui représente un sous-ensemble de cet ensemble. Le convertisseur suivant permet de calculer le ratio entre deux nombres modifiez simplement une des valeurs, le pourcentage est calculé automatiquement avec une précision de 4 chiffres après la virgule. Ce convertisseur est basé sur la formule suivante Pourcentage % = 100 x Valeur partielle / Valeur totale Exemple de calcul de pourcentage Dans une classe de 30 élèves, 12 sont des filles. La proportion de filles dans cette classe est donc de Pourcentage de filles dans la classe = 100 x 12 / 30 = 40 % Calcul de la valeur partielle Le calculateur suivant permet de trouver la valeur partielle correspondant à un pourcentage donné d’un total. Modifiez simplement la valeur totale ou le pourcentage, la valeur résultante est calculée automatiquement avec une précision de 4 chiffres après la virgule. Ce convertisseur est basé sur la formule suivante Valeur partielle = Pourcentage x Valeur totale / 100 Exemple d’application Le prix TTC d’un article est de 60 Euros. La taux de TVA étant de 20%, la taxe correspond donc à Montant TVA = 20 x 60 / 100 = 12 Euros Trouver la valeur totale Le calculateur ci-dessous permet de retrouver la valeur totale à partir d’un pourcentage donné et de la valeur partielle qu’il représente. Il correspond à un calcul de pourcentage inversé. Modifiez l’un des champs, le résultat est calculé automatiquement. La formule permettant de retrouver la valeur totale est la suivante Valeur totale = 100 x Valeur partielle / Pourcentage Exemple d’application La valeur de cette voiture a baissé de 1400 Euros en un an, soit 7%. Le prix payé pour la voiture neuve était donc de Prix du neuf = 100 x 1400 / 7 = 20000 Euros Calcul d’une réduction ou d’une remise Le convertisseur suivant permet de calculer la valeur finale correspondant à une diminution ou remise de x % sur une valeur initiale ou totale. La valeur correspondant à la réduction est calculée à partir de la formule suivante Valeur réduction = Valeur initiale x Pourcentage de réduction / 100 La formule permettant de retrouver la valeur finale est la suivante Valeur finale = Valeur initiale x 1 – Pourcentage de réduction / 100 Exemple d’application pour un pourcentage de remise Pendant la période des soldes une remise de 30% est offerte sur l’achat des pantalons. Pour un pantalon valant initialement 70 Euros Montant de la réduction = 70 x 30 / 100 = 21 Euros Prix après réduction = 70 – 70 x 30 / 100 = 49 Euros Calcul d’une augmentation Le convertisseur suivant permet de calculer la valeur finale correspondant à une augmentation de x % sur une valeur initiale ou totale La valeur correspondant à l’augmentation se calcule à partir de la formule suivante Valeur augmentation= Valeur initiale x Pourcentage d’augmentation / 100 La formule permettant de retrouver la valeur finale est la suivante Valeur finale= Valeur initiale x 1 + Pourcentage d’augmentation / 100 Exemple de calcul d’augmentation en pourcentage Mon loyer, aujourd’hui de 700 Euros, va être augmenté de 3 % à partir du premier janvier prochain Augmentation de loyer = 700 x 3 / 100 = 21 Euros Nouveau montant du loyer = 700 + 700 x 3 / 100 = 721 Euros Calcul de taux variation en % Une variation entre deux nombres peut correspondre à une augmentation ou à une diminution selon que la valeur initiale est supérieur ou inférieure à la valeur finale. Le calculateur suivant permet de trouver cette variation. Entrez simplement les valeurs initiale et finale, le taux est calculé automatiquement avec une précision de 3 chiffres après la virgule. La formule permettant de calculer de taux de variation ou d’évolution en pourcentage est la suivante Taux de variation % = 100 x Valeur finale – Valeur initiale / Valeur initale Si la valeur finale est supérieure à la valeur initiale, le taux de variation sera positif. Si la valeur finale est inférieur à a valeur initiale il sera négatif. Exemple de calcul de taux de variation Le chiffre d’affaire de cette entreprise est passé de 11 000 à 12 100 Euros. Il a donc progressé de Taux de variation = 100 x 12 100 – 11 000 / 11 000 = 10 % Pourcentages exemples et exercices 1 Le vendeur me propose une réduction de 42 Euros sur un article dont le prix initial est de 140 Euros. Quel est le pourcentage de remise proposé ? Remise = 100 x 42 / 140 = 30 % 2 Mon salaire actuel est de 1400 Euros. Comment calculer son montant après une augmentation de 3 % ? Quel est le montant de l’augmentation ? Salaire après augmentation = salaire initial + salaire initial x 3 / 100 = 1442 Euros Augmentation = 1442 – 1400 = 42 Euros 3 A l’occasion des soldes, une remise de 40 % est proposée sur l’achat des vêtements marqués d’un point rouge. Comment calculer la réduction correspondant pour un article valant 140 Euros ? Combien faudra t-il payer en caisse pour cet article ? Réduction = 140 x 40 / 100 = 56 Euros Prix en caisse = 140 – réduction = 84 Euros 4 Mon loyer est de 400 Euros par mois pour un salaire mensuel moyen de 1600 Euros. Quelle est la proportion de mon loyer par rapport à mon salaire ? Proportion loyer = 100 x loyer / salaire = 100 x 400 / 1600 = 25 % 5 Le prix de cet article est de 240 Euros HT. Comment calculer son prix TTC sachant que le taux de TVA est de 20 % ? Prix TTC = Prix HT 1 + 20 / 100 = 288 Euros TTC 6 Mon loyer, actuellement de 400 Euros va passer à 410 Euros. Comment calculer l’augmentation en pourcentage ? Augmentation = 100 x 410 – 400 / 400 = % 7 150400 entreprises ont été crées en Ile de France en 2013, dont 33 % par des femmes. Combien d’entreprise ont été crées par les hommes ? Pourcentage des entreprises créées par des hommes = 100 – 33 = 67 % Entreprises créées par des hommes = 67 x Entreprises créées / 100 = 100768 8 243532 véhicules neufs ont été immatriculés en France en décembre 2013. Parmi ces véhicules 173736 sont des voitures particulières et 32478 sont des camionnettes, le reste étant constitué par des camions, cars, remorques, tracteurs routiers ou agricoles, motos, etc source statistiques INSEE. Comment calculer le pourcentage de voitures particulières neuves immatriculées sur cette même période ? Quelle est la part des camionnettes ? Voitures particulières 100 x 173736 / 243532 ≈ 71,3 % Camionnettes 100 x 32478 / 243532 ≈ 13,3 % 9 L’objectif de vente pour le mois dernier était de 12000 Euros. Comment calculer le taux d’atteinte des objectifs sachant que le chiffre d’affaire s’est élevé à 13200 Euros ? Taux = 100 x 13200 / 12000 = 110 % Il est possible de se retirer de la vie active à partir d’un certain âge. Après cela, la personne, à la retraite, continue de toucher régulièrement une somme d’argent à titre de pension. L’âge de départ à la retraite et le montant qui sera perçu varie selon certaines conditions de trimestres. MesAllocs vous détaille juste ici les conditions de trimestres. Si vous avez atteint l’âge légal de départ, il vous est possible de bénéficier d’une retraite du régime général de la Sécurité sociale. Pour cela, il est nécessaire de valider au moins 1 trimestre en tant que salarié. Le départ à la retraite permet de percevoir une pension de retraite. Cette pension est la pension dite de base. Elle est versée par l’Assurance retraite de la Sécurité sociale. Quelle est la formule de calcul de la retraite ? Le calcul de votre retraite se base sur votre revenu annuel moyen ; le taux appliqué à ce revenu annuel moyen ; votre durée d’assurance pour les activités que vous avez exercées en tant que salarié et dans certains cas, en tant que salarié agricole, artisan, commerçant. Le trimestre est l’unité de base de calcul de votre durée de cotisation. Lorsque vous partirez en retraite, votre durée d’assurance, qui est constituée par l’ensemble des trimestres validées, va être prise en compte pour le calcul de votre retraite. La prise en compte des trimestres pour l’âge de départ Année de naissance Nombre de trimestres exigé 1955 à 1957 166 41 ans et 6 mois 1958 à 1960 167 41 ans et 9 mois 1961 à 1963 168 42 ans 1964 à 1966 169 42 ans et 3 mois 1967 à 1969 170 42 ans et 6 mois 1970 à 1972 171 42 ans et 9 mois 1973 et après 172 43 ans Le départ à la retraite entre 62 et 65 ans Lorsque les conditions sont réunies Si vous réunissez les conditions nécessaires pour bénéficier du taux maximum, vous pouvez partir à la retraite au taux maximum ; ou continuer à travailler. Si vous faites le choix de continuer à travailler, une surcote sera alors appliquée au montant de la retraite. Si vous ne réunissez pas les conditions d’obtention d’une retraite au taux plein automatique, une réduction définitive s’applique sur le montant de votre retraite. Lorsque les conditions ne sont pas réunies L’âge légal de départ à la retraite en France est de 62 ans. Si vous ne réunissez pas les conditions pour bénéficier du taux maximum, vous pouvez continuer à travailler jusqu’à ce que vous réunissiez les conditions pour bénéficier du taux maximum. Vous pouvez également continuer à travailler jusqu’à avoir atteint l’âge du taux maximum automatique 67 ans si vous êtes né en 1955 ou après. Vous pouvez également faire le choix de partir à la retraite avec une réduction définitive. Le départ à la retraite entre 65 et 67 ans Lorsque vous avez atteint un certain âge, la retraite est calculée au taux maximum. Ce taux maximum est mis en place peu importe votre nombre de trimestres. Cet âge varie entre 65 à 67 ans. Cela dépendra de votre année de naissance, mais également de votre situation. Afin de déterminer votre durée d’assurance, l’Assurance retraite va prendre en compte plusieurs éléments. Tout d’abord, ce sont les cotisations obligatoires ou volontaires, autrement dit les trimestres cotisés, qui sont pris en compte. Ensuite, il y a les périodes assimilées à des périodes d’assurance comme la maladie et la maternité qui vont correspondre aux trimestres assimilés. Il y a également les périodes validées par présomption. Ces périodes corrrespondent à des périodes qui n’ont pas donné lieu à inscription de cotisations sur le compte de retraite de l’assuré. Enfin, il y a les années d’études rachetées ou les trous de carrière rachetés qui représentent les trimestres rachetés. Connaître son relevé de carrière Votre relevé de carrière permet de résumer toute votre carrière professionnelle. Ce relevé va servir de base pour définir votre date de départ à la retraite, mais également pour calculer votre retraite définitive. Ce document va vous permettre d’obtenir une vision globale et complète des droits que vous avez acquis pour votre future retraite. Ce relevé vous permettra de vérifier que l’ensemble de votre parcours professionnel a bien été pris en compte. Afin d’obtenir ce document, il faut en faire la demande en ligne sur le site de l’Assurance retraite, dans l’ espace personnel. Calcul de sommes Enoncé Calculer $\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{-1^n}{n^2-1}$. On justifiera la convergence de la série. Enoncé Montrer que la série de terme général $$u_n=\frac{1}{\sqrt{n-1}}-\frac{2}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}$$ pour $n\geq 2$ est convergente, et calculer sa somme. Enoncé Soit $x\in ]-1,1[$. Calculer $\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty}kx^k$. Enoncé Sachant que $e=\sum_{n\geq 0}\frac1{n!}$, déterminer la valeur des sommes suivantes $$\begin{array}{lllll} \displaystyle \mathbf 1.\ \dis \sum_{n\geq 0}\frac{n+1}{n!}&&\displaystyle \mathbf 2.\ \dis \sum_{n\geq 0}\frac{n^2-2}{n!}&& \displaystyle \mathbf 3.\ \sum_{n\geq 0}\frac{n^3}{n!}. \end{array}$$ Enoncé En utilisant l'inégalité de Taylor-Lagrange sur la fonction $t\mapsto {\ln1+t}$, montrer que la série $\sum_{n\geq 1}\frac{-1^{n-1}}{n}$ est convergente et de somme $\ln 2$. Sachant que $\dis\frac{1}{k}=\int_0^1 t^{k-1}dt$, retrouver d'une autre façon le résultat précédent. Enoncé Le but de l'exercice est de calculer $\sum_{n\geq 1}\frac1{n^2}$. Soit $f$ une fonction de classe $C^1$ sur $[0,\pi]$. Démontrer que $$\int_0^\pi ft\sin\left\frac{2n+1t}{2}\rightdt\longrightarrow_{n\to+\infty}0.$$ On pose $A_nt=\frac12+\sum_{k=1}^n \coskt.$ Vérifier que, pour $t\in]0,\pi]$, on a $$A_nt=\frac{\sin\left2n+1t/2\right}{2\sint/2}.$$ Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que, pour tout $n\geq 1$, $$\int_0^\pi at^2+bt\cosntdt=\frac1{n^2}.$$ Vérifier alors que $$\int_0^\piat^2+btA_nt=S_n-\frac{\pi^2}6$$ où on a posé $S_n=\sum_{k=1}^n \frac1{k^2}$. Déduire des questions précédentes que $S_n\to \frac{\pi^2}6.$ Enoncé Étudier la convergence et calculer la somme de la série de terme général $\dis \arctan\left\frac{1}{k^2+k+1}\right.$ Enoncé Étudier la convergence et calculer la somme de la série de terme général $$u_n=\frac{-1^n}{n+-1^n}.$$ Comparaison à une intégrale Enoncé Soit $\alpha\in\mathbb R$. Pour $\alpha1$. On note $$R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac 1{k^{\alpha}}.$$ Soit $a\in\mathbb R$. Déterminer $$\lim_{x\to+\infty}\int_a^{x}\frac{dt}{t^\alpha}.$$ En déduire un équivalent simple de $R_n$. Enoncé Déterminer un équivalent simple de $\lnn!$. Enoncé Déterminer $\displaystyle \lim_{a\to+\infty}\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{a}{n^2+a^2}.$ Estimation des sommes partielles et du reste Enoncé Écrire un algorithme donnant un encadrement à $10^{-5}$ près de $\sum_{n\geq 1}\frac{-1^n}{n\lnn+1}$. Enoncé Soit pour $n\geq 1$, $u_n=\frac 1{2n-15^{2n-1}}$. Montrer que la série de terme général $u_n$ converge. On note $R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}u_{k}$. Montrer que $R_n\leq \frac{25}{24}u_{n+1}$. En déduire la valeur de $\sum_{n=1}^{+\infty} u_n$ à 0,001 près. Enoncé Pour tout entier naturel non nul, on note $$H_n=\sum_{k=1}^n \frac 1k,\ f_n=H_n-\ln n.$$ On considère également les suites $u_n_{n\geq 1}$ et $v_n_{n\geq 1}$ définies pour $n\geq 1$ par $$u_1=1\textrm{ et pour }n\geq 2, u_n=\frac 1n+\ln\left1-\frac 1n\right;$$ $$v_n=\frac 1n-\ln\left1+\frac 1n\right.$$ Démontrer que pour tout $n\geq 1$, on a $$\lnn+1\leq H_n\leq 1+\lnn.$$ En déduire un équivalent de $H_n$. Justifier que les séries $\sum_{n}u_n$ et $\sum_n v_n$ sont convergentes. Dans la suite de l'exercice, on notera $\gamma=\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$. Exprimer, pour $n\geq 2$, $f_n-f_{n-1}$, en fonction de $u_n$. En déduire que $f_n$ converge vers $\gamma$. Quel est le signe pour $n\geq 2$ respectivement pour $n\geq 1$ de $u_n$ respectivement de $v_n$? Démontrer que, pour tout $N\geq 2$, $$\sum_{n=2}^N \big\lnn+1+\lnn-1-2\lnn\big=\lnN+1-\lnN-\ln2.$$ On note, pour $N\geq 1$, $S_N=\sum_{n=1}^N u_n$ et $T_N=\sum_{n=1}^N v_n$. Déduire des deux questions précédentes que les suites $S_N$ et $T_N$ sont adjacentes, de limite $\gamma$. En utilisant les suites $S_N$ et $T_N$, écrire une fonction Python \verb+gammaeps+ qui donne un encadrement de $\gamma$ d'amplitude inférieur ou égal à $eps$. Enoncé Pour $n\geq 1$, on note $H_n=\sum_{k=1}^n \frac 1k$. Démontrer que, pour tout $n\geq 1$, $$\lnn+1\leq H_n\leq 1+\lnn.$$ En déduire un équivalent de $H_n$. On pose pour $n\geq 1$, $v_n=H_n-\lnn+1$. Vérifier que, pour $n\geq 2$, $v_{n}-v_{n-1}=\frac 1n-\ln\left1+\frac 1n\right$. Étudier la monotonie de $v_n$. En déduire que $v_n$ est convergente. On note $\gamma$ sa limite et on pose pour $n\geq 1$, $w_n=H_n-\lnn+1-\gamma$. Vérifier que, pour tout $x\geq 0$, $$\ln1+x=x-\int_0^x \frac{x-t}{1+t^2}dt.$$ En déduire que, pour tout $x\geq 0$, $$\left\ln1+x-x\right\leq\frac{x^2}2.$$ Démontrer que, pour tout $n\geq 2$, $$\leftw_n-w_{n-1}\right\leq \frac{1}{2n^2}.$$ Soit $M>N\geq 1$. Démontrer que $$\sum_{k=N+1}^M \frac1{k^2}\leq \frac1{N}.$$ En déduire, sous les mêmes hypothèses, que $$w_M-w_N\leq \frac1{2N}$$ puis que $$v_N-\gamma\leq \frac{1}{2N}.$$ Écrire un algorithme permettant de calculer une valeur approchée de $\gamma$ à $10^{-3}$ près. Enoncé On pose $H_n=1+\frac12+\dots+\frac1n$. Prouver que $H_n\sim_{+\infty}\ln n$. On pose $u_n=H_n-\ln n$, et $v_n=u_{n+1}-u_n$. Étudier la nature de la série $\sum_n v_n$. En déduire que la suite $u_n$ est convergente. On notera $\gamma$ sa limite. Soit $R_n=\sum_{k=n}^{+\infty} \frac{1}{k^2}$. Donner un équivalent de $R_n$. Soit $w_n$ tel que $H_n=\ln n+\gamma+w_n$, et soit $t_n=w_{n+1}-w_n$. Donner un équivalent du reste $\sum_{k\geq n}t_k$. En déduire que $H_n=\ln n+\gamma+\frac{1}{2n}+o\left\frac1n\right$. Enoncé Le but de l'exercice est de calculer $\sum_{n\geq 1}\frac1{n^2}$ et de donner un développement asymptotique de la somme partielle $S_n=\sum_{k=1}^n \frac1{k^2}.$ Soit $\alpha>1$ et $k\geq 2$. Démontrer que $$\int_{k}^{k+1}\frac{dt}{t^\alpha}\leq \frac1{k^\alpha}\leq \int_{k-1}^{k}\frac{dt}{t^\alpha}.$$ En déduire que $$\sum_{k\geq n}\frac{1}{k^{\alpha}}\sim_{+\infty}\frac{1}{\alpha-1n^{\alpha-1}}.$$ Soit $f$ une fonction de classe $C^1$ sur $[0,\pi]$. Démontrer que $$\int_0^\pi ft\sin\left\frac{2n+1t}{2}\rightdt\longrightarrow_{n\to+\infty}0.$$ On pose $A_nt=\frac12+\sum_{k=1}^n \coskt.$ Vérifier que, pour $t\in]0,\pi]$, on a $$A_nt=\frac{\sin\left2n+1t/2\right}{2\sint/2}.$$ Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que, pour tout $n\geq 1$, $$\int_0^\pi at^2+bt\cosntdt=\frac1{n^2}.$$ Vérifier alors que $$\int_0^\piat^2+btA_ntdt=S_n-\frac{\pi^2}6.$$ Déduire des questions précédentes que $S_n\to \frac{\pi^2}6.$ Déduire des questions précédentes que $$S_n=\frac{\pi^2}6-\frac1n+o\left\frac 1n\right.$$ Enoncé Le but de l'exercice est de déterminer un équivalent du reste de certaines séries alternées. On considère $u_n_{n\geq 0}$ une suite de réels positifs décroissant vers $0$, et on considère la série $\sum_{n\geq 0}-1^n u_n$ dont on rappelle qu'elle est convergente. On note $R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}-1^k u_k$ son reste. On suppose de plus que la suite $u_n$ vérifie les deux conditions suivantes $$\forall n\geq0,\ u_{n+2}-2u_{n+1}+u_n\geq 0\qquad\textrm{et}\qquad \lim_{n\to+\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=1.$$ Démontrer que pour tout $n\geq 0$, $R_n+R_{n+1}=u_{n+1}$. Démontrer que la suite $R_n$ est décroissante. En déduire que $R_n\sim_{+\infty}\frac{-1^{n+1} u_n}2.$

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